Penyelesaian PLSV dengan Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen

Sebelumnya kami sudah dibahas tentang cara penyelesain persamaan linear satu variabel dengan cara substitusi (penggantian). Cara itu kelihatan agak ribet karena harus mencoba satu persatu suatu bilangan yang jumlahnya tidak terhingga. Kemudian bagaimana solusi yang tepat untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel?

Solusi yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel adalah dengan cara menggunakan persamaan-persamaan yang ekuivalen. Apa itu pengertian persamaan yang ekuivalen? Sekarang silahkan perhatikan persamaan x – 2 = 3.

a). Persamaan x – 2 = 3. Jika x diganti bilangan 5 maka 5 – 2 = 3 (benar).

Jadi, penyelesaian persamaan x – 2 = 3 adalah x = 5.

b). Sekarang persamaan x – 2 = 3  kedua ruas dikalikan 2 maka menjadi 2x – 4 = 6. Jika x diganti bilangan 5 maka 2(5) – 4 = 6 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 4 = 6 adalah x = 5.

c). Sekarang persamaan x – 2 = 3 kedua ruas ditambah 9, maka menjadi x + 7 = 12. Jika x diganti bilangan 5 maka 5 + 7 = 12 (benar). Jadi, penyelesaian persamaan x + 7 = 12 adalah x = 5.

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen. Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “<=>”. Dengan demikian bentuk x – 2 = 3; 2x – 4 = 6; dan x + 7 = 12 dapat dituliskan sebagai x – 2 = 3 <=> 2x – 4 = 6 <=> x + 7 = 12. Jadi, berdasarkan uraian di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “<=>”.

Jadi, “Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama dan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama“.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesian persamaan linear satu variabel silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.

1. m – 9 = 13
2. –11 + x = 3
3. 2a + 1 = a – 3
4. 12 + 3a = 5 + 2a
5. 3(x + 1) = 2(x + 4)

Penyelesaian:

1. m – 9 = 13

<=> m – 9 + 9 = 13 + 9 (kedua ruas ditambah 9)

<=> m = 22

1. –11 + x = 3

<=> –11 + 11 + x = 3 + 11 (kedua ruas ditambah 11)

<=> m = 14

1. 2a + 1 = a – 3

<=> 2a + 1 – 1 = a – 3 – 1 (kedua ruas dikurangi 1)

<=> 2a = a – 4

<=> 2a – a = a – a – 4 (kedua ruas dikurangi a)

<=> a = – 4

1. 12 + 3a = 5 + 2a

<=> 12 – 12 + 3a = 5 + 2a – 12 (kedua ruas dikurangi 12)

<=> 3a = 2a – 7

<=> 3a – 2a = 2a – 2a – 7 (kedua ruas dikurangi 2a)

<=> a = – 7

1. 3(x + 1) = 2(x + 4) jabarkan terlebih dahulu, maka:

<=> 3x + 3 = 2x + 8

<=> 3x + 3 – 3 = 2x + 8 – 3 (kedua ruas dikurangi – 3)

<=> 3x = 2x + 5

<=> 3x – 2x = 2x – 2x + 5 (kedua ruas dikurangi – 2x)

<=> x = 5

Bagaimana? Gampang bukan? Sekarang coba kerjakan soal latihan berikut ini.

Soal Latihan 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.

1. 5(y – 1) = 4y
2. 4(3 – 2y) = 15 – 7y
3. 3(2y – 3) = 5(y – 2)
4. 8 – 2(3 – 4y) = 7y – 1
5. 5x + 7(3x + 2) = 6(4x + 1)

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.

1. 2x + 3 = 11

<=> 2x + 3 – 3 = 11 – 3 (kedua ruas dikurangi 3)

<=> 2x = 8

<=> ½.2x = ½.8 (kedua ruas dikalikan ½)

<=> x = 4

  

1. 7x = 8 + 3x

<=> 7x – 3x = 8 + 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> 4x = 8

<=> ¼.4x = ¼.8 (kedua ruas dikali ¼)

<=> x = 2

1. 3p + 5 = 17 – p

<=> 3p + 5 – 5 = 17 – 5 – p (kedua ruas dikurangi 5)

<=> 3p = 12 – p

<=> 3p + p = 12 – p + p (kedua ruas tambah p)

<=> 4p = 12

<=> ¼.4p = ¼.12 (kedua ruas dikali ¼)

<=> p = 3

1. 7q = 5q – 12

<=> 7q – 5q = 5q – 5q – 12 (kedua ruas dikurangi 5q)

<=> 2q = – 12

<=> ½.2q = ½.(– 12) (kedua ruas dikali ½)

<=> q = – 6

1. 6 – 5y = 9 – 4y

<=> 6 – 6 – 5y = 9 – 6 – 4y (kedua ruas dikurangi 6)

<=> – 5y = 3 – 4y

<=> – 5y + 4y = 3 – 4y + 4y (kedua ruas ditambah 4y)

<=> –y = 3

<=> –y = 3 (kedua ruas dikalikan (– 1))

<=> (–y)(– 1) = 3.(– 1)

<=> y = – 3

Soal Latihan 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.

1. 7n + 4 = 4n – 17
2. 2(5 – 2x) = 3(5 – x)
3. –2x + 5 = –(x + 9)
4. 18 + 7x = 2(3x – 4)
5. 3(2x – 3) – 2(1 – x) – (x + 3) = 0

Demikian postingan kali ini tentang penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan persamaan-persamaan yang ekuivalen.