Bilangan Bulat, Sifat-Sifatnya dan Operasinya

Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya

Dalam Matematika, bilangan bulat adalah kumpulan bilangan cacah dan bilangan negatif. Mirip dengan bilangan cacah, bagian pecahan tidak termasuk di dalamnya.
Jadi, kita dapat mengatakan, bilangan bulat adalah bilangan yang bisa positif, negatif, atau nol, tetapi tidak bisa berupa pecahan.
Kita dapat melakukan semua operasi aritmatika, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, pada bilangan bulat. Contoh bilangan bulat adalah, 1, 2, 5,8, -9, -12, dst.  Simbol bilangan bulat adalah “Z“.
Sekarang, mari kita bahas definisi bilangan bulat, simbol, jenis, operasi pada bilangan bulat, aturan dan sifat yang terkait dengan bilangan bulat, cara merepresentasikan bilangan bulat pada garis bilangan dengan banyak contoh penyelesaian secara detail.
Pada sekolah dasar, pengenalan bilangan bulat akan terasa lebih sulit untuk itu butuh cara-cara khusus untuk mengenalkan bilangan bulat pada siswa sekolah dasar.

Apa itu bilangan bulat?

Bilangan bulat (Integer) berasal dari kata integer berasal dari bahasa Latin “Integer” yang berarti penuh  atau utuh. Bilangan bulat adalah kumpulan bilangan-bilangan khusus yang terdiri dari nol, bilangan positif, dan bilangan negatif.
Contoh Bilangan Bulat: – 1, -12, 6, 15.

Simbol Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z dimana anggota-anggotanya adalah bilangan negatif yang merupakan lawan dari bilangan asli dan bilangan cacah. Jadi Z= {……-8,-7,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,……}

Jenis Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari 3 jenis yaitu:
  1. Nol
  2. Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)
  3. Lawan dari bilangan Asli (Bilangan Bulat Negatif)

Nol

Nol bukanlah bilangan bulat positif atau negatif. Ini adalah angka netral yaitu nol tidak memiliki tanda (+ atau -).

Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan asli atau disebut juga bilangan cacah. Bilangan bulat ini juga terkadang dilambangkan dengan Z+. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan 0 pada garis bilangan.
Z+ → 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,….

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif adalah negatif dari bilangan asli. Mereka dilambangkan dengan Z–. Bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri 0 pada garis bilangan.
Z– → -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, -15, -16 , -17, -18, -19, -20, -21, -22, -23, -24, -25, -26, -27, -28, -29, -30,…..

Bagaimana Menunjukkan Bilangan Bulat pada Garis Bilangan?

Seperti yang telah kita bahas tiga kategori bilangan bulat, kita dapat dengan mudah menyatakannya pada garis bilangan berdasarkan bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol.
Nol adalah pusat bilangan bulat pada garis bilangan. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol dan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri.
Lihat gambar di bawah ini.

Aturan bilangan bulat

Aturan yang ditetapkan untuk bilangan bulat adalah:
  1. Jumlah dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
  2. Jumlah dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat
  3. Hasil kali  dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
  4. Hasil kali  dari dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat
  5. Jumlah bilangan bulat dan inversnya sama dengan nol
  6. Hasil kali  bilangan bulat dan kebalikannya sama dengan 1

Operasi Aritmatika pada Bilangan Bulat

Operasi Matematika dasar yang dilakukan pada bilangan bulat adalah: Penambahan bilangan bulat, Pengurangan bilangan bulat, Perkalian bilangan bulat dan  Pembagian bilangan bulat

Penjumlahan Bilangan Bulat

Sambil menambahkan dua bilangan bulat dengan tanda yang sama, tambahkan nilai absolutnya, dan tuliskan jumlahnya dengan tanda yang diberikan pada angka tersebut.
Sebagai contoh,
(+4) + (+7) = +11
(-6) + (-4) = -10
Sambil menjumlahkan dua bilangan bulat yang berbeda tandanya, kurangi nilai mutlaknya, dan tuliskan selisihnya dengan tanda bilangan yang mempunyai nilai mutlak terbesar.
Sebagai contoh,
(-4) + (+2) = -2
(+6) + (-4) = +2.
Anda dapat memahami lebih jauh tentang penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan

Pengurangan Bilangan Bulat

Saat mengurangkan dua bilangan bulat, ubah tanda bilangan kedua yang dikurangkan, dan ikuti aturan penjumlahan.
Sebagai contoh,
(-7) – (+4) = (-7) + (-4) = -11
(+8) – (+3) = (+8) + (-3) = +5
Metode lain untuk menghitung hasil pengurangan bilangan bulat adalah menggunakan garis bilangan untuk operasi pengurangan bilangan bulat

Perkalian Bilangan Bulat

Saat mengalikan dua bilangan bulat, aturannya sederhana.
Jika kedua bilangan bulat memiliki tanda yang sama, maka hasilnya positif.
Jika bilangan bulat memiliki tanda yang berbeda, maka hasilnya negatif.
Sebagai contoh,
(+2) x (+3) = +6
(+3) x (-4) = – 12
Perkalian bilangan bulat dapat menggunakan garis bilangan. Penjelasan lebih lanjut tentang penggunaan garis bilangan dapat mengunjungi artikel : Perkalian Bilangan Bulat dengan Garis Bilangan

Pembagian Bilangan Bulat

Aturan pembagian bilangan bulat mirip dengan perkalian.
Jika kedua bilangan bulat memiliki tanda yang sama, maka hasilnya positif.
Jika bilangan bulat memiliki tanda yang berbeda, maka hasilnya negatif.
Demikian pula
(+6) ÷ (+2) = +3
(-16) ÷ (+4) = -4
Pembagian bilangan bulat dapat diperagakan menggunakan garis bilangan.

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Bulat

Sifat utama dari operasi Bilangan Bulat adalah: Sifat tertutup, asosiatif,  Komutatif, Distributif, sifat invers penjumlahan, Sifat Invers Perkalian dan Sifat identitas.

Sifat tertutup

Menurut sifat tertutup bilangan bulat, ketika dua bilangan bulat ditambahkan atau dikalikan bersama, hasilnya adalah bilangan bulat juga. Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka:
a + b = bilangan bulat
axb = bilangan bulat
Contoh:
2 + 5 = 7 (adalah bilangan bulat)
2 x 5 = 10 (bilangan bulat)

Sifat Komutatif

Menurut sifat komutatif bilangan bulat, jika a dan b adalah dua bilangan bulat, maka:
a + b = b + a
axb = bxa
Contoh:
3 + 8 = 8 + 3 = 11
3×8 = 8×3 = 24
Namun untuk sifat komutatif tidak berlaku untuk pengurangan dan pembagian bilangan bulat.

Sifat asosiatif

Sesuai sifat asosiatif, jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka:
a+(b+c) = (a+b)+c
a(bxc) = (axb)xc
Contoh:
2+(3+4) = (2+3)+4 = 9
2x(3×4) = (2×3)x4 = 24
Mirip dengan komutatif, asosiatif berlaku untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat saja.

Sifat distributif

Menurut sifat distributif bilangan bulat, jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka:
a x (b + c) = a x b + a x c
Contoh: Buktikan bahwa: 3 x (5 + 1) = 3 x 5 + 3 x 1
Ruas Kanan= 3 x (5 + 1) = 3 x 6 = 18
Ruas Kiri = 3 x 5 + 3 x 1 = 15 + 3 = 18
Karena, Ruas Kiri = Ruas Kanan
Oleh karena itu, terbukti.

Sifat Invers Penjumlahan

Jika a adalah bilangan bulat, maka sesuai sifat invers penjumlahan bilangan bulat,
a + (-a) = 0
Oleh karena itu, -a adalah invers penjumlahan dari bilangan bulat a.

Sifat invers perkalian

Jika a adalah bilangan bulat, maka sesuai sifat invers perkalian bilangan bulat,
a x (1/a) = 1
Jadi, 1/a adalah invers perkalian dari bilangan bulat a.

Elemen Identitas Bilangan Bulat

Elemen identitas bilangan bulat adalah:
a+0 = a
a x 1 = a
Contoh: -100,-12,-1, 0, 2, 1000, 989 dst…
Sebagai satu set, itu dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Z= {……-8,-7,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,……}

Aplikasi Bilangan Bulat

Bilangan bulat bukan hanya angka di atas kertas; mereka memiliki banyak aplikasi kehidupan nyata. Pengaruh bilangan positif dan negatif di dunia nyata berbeda. Mereka terutama digunakan untuk melambangkan dua situasi yang saling bertentangan.
Misalnya, ketika suhu di atas nol, angka positif digunakan untuk menyatakan suhu, sedangkan angka negatif menunjukkan suhu di bawah nol. Mereka membantu seseorang untuk membandingkan dan mengukur dua hal seperti seberapa besar atau kecil atau lebih banyak atau lebih sedikit hal dan karenanya dapat mengukur sesuatu.
Beberapa situasi kehidupan nyata di mana bilangan bulat berperan adalah skor pemain dalam turnamen golf, sepak bola, dan hoki, peringkat film atau lagu, kredit dan debit bank masing-masing direpresentasikan sebagai jumlah positif dan negatif.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1:
Selesaikan yang berikut ini:
5 + 3 = ?
5 + (-3) = ?
(-5) + (-3) = ?
(-5) x (-3) = ?
Penyelesaian:
5 + 3 = 8
5 + (-3) = 5 – 3 = 2
(-5) + (-3) = -5 – 3 = -8
(-5) x (-3) = 15
Contoh 2:
Selesaikan perkalian bilangan bulat berikut:
(+5) × (+10)
(12) × (5)
(- 5) × (7)
5 × (-4)
Penyelesaian:
(+5) × (+10) = +50
(12) × (5) = 60
(- 5) × (7) = -35
5 × (-4) = -20
Contoh 3:
Selesaikan pembagian bilangan bulat berikut:
(-9) ÷ (-3)
(-18) ÷ (3)
(4000) ÷ (- 100)
Penyelesaian:
(-9) ÷ (-3) = 3
(-18) ÷ (3) = -6
(4000) ÷ (- 100) = -40
Soal -soal dan pembahasan lain terkait bilangan bulat dapat dikunjungi pada Pembahasan Soal Bilangan Bulat.
Baca Juga :  Cara Menentukan Faktor Suatu Bilangan Bulat